รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน
จำนวนจริง
1.จำนวนจริง
เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ ได้แก่
- เซตของจำนวนนับ/ เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย I
I = {1,2,3…}
- เซตของจำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วย I
- เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วย I
I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}
- เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม และ b = 0
- เซตของจำนวนอตรรกยะ : จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรยะ ซึ่งไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้
ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ
= 1.4142135… มีค่าประมาณ 1.414
= 1.4422495… มีค่าประมาณ 1.442
= -0.8660254… มีค่าประมาณ -0.866
= 3.14159265… มีค่าประมาณ 3.1416
1) สมบัตของการเท่ากันในระบบจำนวนจริง
เมื่อ a, b , c เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1) สมบัติการสะท้อน a = a
(2) สมบัติการสมมตรา ถ้า a = a แล้ว b = c
(3) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = a และb = c แล้ว a = c
(4) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a = b แล้ว a+c = b+ c
(5) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a = b แล้ว ac = bc
2) สมบัติการบวกและการคูณจำนวนจริง
ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
สมบัติ
|
การบวก
|
การคูณ
|
ปิด
| a+b € R | ab € R |
การสลับที่
| a+ b = b+a | ab = ba |
การเปลี่ยนหมู่
| (a+b)+c = a+(b+c) | (ab)= a(bc) |
การมีเอกลักษณ์
| มีจำวนจริง 0 ซึ่ง0+a = a= a+0 | มีจำนวนจ1 a = a= a 1 ริงซึ่ง 1 ซึ่ง |
| เรียก 0ว่าเอกลักษณ์ | เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์ | |
การมีอินเวอร์ส
| สำหรับจำนวนจริง aจะมีจำนวนจริง –a โดยที่ (-a)+a = 0 = a+(-a) เรียก –a ว่าอินเวอร์ส การบวกจำนวนจริงของ a | เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์การคูณสำหรับจำนวนจริง a ที่ a 0 จะมีจำนวนจริง a โดยที่ a a = 1 = a a เรียก a ว่าอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริงa |
การแจกแจง
| A(a+b) = ab+ac |
ตัวแปร : อักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x , y ที่ใช้เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวน
ค่าคงตัว : ตัวเลขที่แททนจำนวน เช่น 1, 2
นิพจน์ : ข้อความในรูปสัญลักษณื เช่น 2, 3x ,x-8 ,
เอกนาม : นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้ กำลังของตัวแปรเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น -3, 5xy , 2y
พหุนาม : นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนาม หรือการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอก นามขึ้นไป เช่น 3x , 5x +15xy+10x+5
ดีกรีของเอกนาม : ดีกรีสูงสุดของเอกนามในพหุนามนั้น เช่น x+2xy+1 เป็นพหุนามดีกรี 3
3.1การแยกตัวประกอบของพหุนาม
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว : พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax + bx +c = 0 เมื่อค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร
- การแยกตัวประกอบของ x +bx +c = 0 เมื่อ b , c เป็นค่าคงตัวที่ c = 0
ทำได้โดยการาจำนวน d และ e ที่ de = c และ d+c = b ทำให้ x +bx + c = (x+d)(x+c)
เช่น จงแยกตัวประกอบของ x +7x + 12
จัดพหุนามให้อยู่ในรูป x +(d+e)x+de
นั้นคือ หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 10 และบวกกันได้ 7
ซึ่งก็คือ 5 และ 2
จะได้ (5)(2) = 10 และ5+2 = 7
ดั้งนั้น x+7x+10= (x+5) (x+2)
- การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax +bx +c เมื่อ a, b , c , เป็นค่าคงตัว และ a ≠0 ,c ≠ 0
เช่น 4x-4x+1 ทำได้ดังนี้
1) หาพหุนามดีกรีหนึ่งพหุนามที่คูณกันได้ 4x มี(2x)(2x)หรือ (4x)(x) เขียนสองพหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ดังนี้
(2x )(2x )หรือ(4x )(x )
2.)หาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1) เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้
(2x+1)(2x+1) หรือ (4x+1)(x+1)
(2x-1)(2x-1) (4x-1)(x-1)
- การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
กำลังสองสมบูรณ์ : พหุนามดีกรีสองสมบูรณ์ที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน เช่น
x+2ax+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)
x-4x+4 = (x-2)(x-2) = (x-2)
ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้
x-2ax+a = (x-a)
x+6x+9 = (x+3)
x-2ax+a = (x-2)
x-8x+16 = (x-4)
- การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
พหุนาม x+bx+c เช่น x+2x-5 ทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ดังนี้
X+2x-5 = ( x+2x)-5
= (x+2x+1)-5-1
= (x+1) -6
ดั้งนั้น x+2x-5 = (x+1)-6
จาก x-a = (x-a)(x+a)
จะได้ (x+1)-6 = ((x+1)- 6 )((x+1)+ 6 )
3.2 การแก้สมการกำลังสองสมบูณณ์
การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการสองตัวแปรเดียว การหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูป ax+bx+c = 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริง ดังนี้
“ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง และab = 0 แล้ว a = 0”
การหาคำตอบของสมการ : การหาจำนวนที่นำไปแทน x ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง
เช่น 4x-4x+1 ทำได้ดังนี้
1) หาพหุนามดีกรีหนึ่งพหุนามที่คูณกันได้ 4x มี(2x)(2x)หรือ (4x)(x) เขียนสองพหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ดังนี้
(2x )(2x )หรือ(4x )(x )
2.)หาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1) เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้
(2x+1)(2x+1) หรือ (4x+1)(x+1)
(2x-1)(2x-1) (4x-1)(x-1)
- การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
กำลังสองสมบูรณ์ : พหุนามดีกรีสองสมบูรณ์ที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน เช่น
x+2ax+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)
x-4x+4 = (x-2)(x-2) = (x-2)
ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้
x-2ax+a = (x-a)
x+6x+9 = (x+3)
x-2ax+a = (x-2)
x-8x+16 = (x-4)
- การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
พหุนาม x+bx+c เช่น x+2x-5 ทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ดังนี้
X+2x-5 = ( x+2x)-5
= (x+2x+1)-5-1
= (x+1) -6
ดั้งนั้น x+2x-5 = (x+1)-6
จาก x-a = (x-a)(x+a)
จะได้ (x+1)-6 = ((x+1)- 6 )((x+1)+ 6 )
3.2 การแก้สมการกำลังสองสมบูณณ์
การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการสองตัวแปรเดียว การหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูป ax+bx+c = 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริง ดังนี้
“ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง และab = 0 แล้ว a = 0”
การหาคำตอบของสมการ : การหาจำนวนที่นำไปแทน x ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง
- การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการแยกตัวประกอบ
เช่น แยกตัวประกอบของ x-4x+3 = 0
วิธีทำ แยกตัวประกอบของ x-4x+3
จะได้ (x-3)(x-1)
หาคำตอบของสมการ (x-3)(x-1) = 0
โดยหา x ที่ทำให้ x-3 = 0 หรือ x-1= 0
นั่นคือ x= 0 หรือ x= 1
ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า x ในการ x-4x+3 = 0 ด้วย 1หรือ 3
เมื่อแทนค่า x ด้วย 1 จะได้
(1)-4 (1)+3 = 0 ซึ่งเป็นจริง
เมื่อแทนค่า x ด้วย 3 จะได้
(3)-4(3)+3 = 0 ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น 1 และ3 เป็นคำตอบของสมการ x -4x+3 =0
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น